6月28日は完全数の日

taratta2019/06/28(金) - 11:31 に投稿

今日、6月28日は完全数の日です。6は最初の完全数、28は2番目の完全数だからです。

$2^n-1$ が素数 (このような素数をメルセンヌ素数といいます) ならば、$2^{n-1}(2^n-1)$ は完全数であり、偶数の完全数はこのような数に限ることが知られています。

この命題を、以下のような同値な命題に書き換えてみました。

初項1、公比2の等比数列の和が素数となるとき、1からその素数までの自然数の和は完全数となる。偶数の完全数はこのような数に限る。

たとえば、$1+2+4+8+16 = 31$ は素数になるので、$1+2+3+ \cdots +31 = 496$ は完全数になる、ということです。